Ecuaciones de movimiento rectilineo uniforme MRU ¡Demostración!
En física es común encontrar problemas que tienen una aceleración constante, en esta sección veremos la deducciíon de las ecuaciones de movimiento rectilineo uniforme con aceleración constante, estas ecuaciones no podrán ser aplicables cuando tengamos una aceleración variable.
Supongamos que a representa la aceleración constante, y nosotros conocemos las definiciones de velocidad y aceleracion:
Tomamos la ecuación (1) y despejamos el término dv, multiplicando ambos lados por dt con lo que obtenemos
si resolvemos las integrales de ambos lados tenemos
podemos juntar las constante de ambos lados en una sola llamándola c,
esta constante c será nuestra primer condición inicial a la cual renombramos como v0 siendo
la velocidad inicial y quedando la ecuación como:
siendo ésta la primer ecuación de movimiento.
Para la segunda ecuación de movimiento tomamos la definición de velocidad (2) y despejamos dx
integramos ambos lados de nuestra ecuación (11)
sustituimos la ecuación (9) en (12) del lado derecho y obtenemos:
nuevamente unimos las constantes c3 y c4 en una sola constante y esta será nuestra segunda condición
inicial la cual vamos a renombrar como x0 siendo esta la posición inicial, esto nos queda
como:
siendo esta ecuación (15) nuestra segunda ecuación de movimiento.
Para obtener la tercer ecuación de movimiento usamos la ecuación (15), pasamos x del otro lado
e igualamos a 0 toda la ecuación, esto es:
ahora tenemos una ecuación de la forma ax^2+bx+c=0 con lo cual podemos usar la formula para
resolver ecuaciones de segundo orden para t
siendo a=1/2a, b=v0 , c = x0-x, sustituimos estos valores en (18) y se nos transforma en
vamos a reducir todos los términos que podamos
nos interesa solo el signo positivo de la raíz pues significa que el signo positivo seria unamedición
en un tiempo posterior al inicio el movimiento, y el signo negativo sería un tiempo posterior al
inicio delmovimiento, con lo cual nos quedaría
ahora consideremos la definición de distancia x-x0, pero nosotros tenemos un término semejante
en nuestra ecuación, lo que podemos hacer es factorizar un signo menos (-) de x0-x quedando
x0-x= -x +x0 =-(x -x0) quedando asi la definición de distancia, entonces la sustituimos junto
con el (-) que factorizamos y tenemos
quedando finalmente
siendo esta ecuación (29) nuestra tercer ecuación de movimiento.
En algunos libros de texto sobre física aparecen dos ecuaciones extra de movimiento, las cuales so
obtiene de estas tres ecuaciones anteriores (9), (15) y (29), así que a continuación procederemos a
demostrarlas también.
De la ecuación (9) despejamos la aceleración, restando v0 a ambos lados de la ecuación
dividimos ambos lados por t
factorizamos 1/2t
siendo esta nuestra cuarta ecuación de movimiento, a continuación procedemos a obtener la
quinta y última ecuación de movimiento, para esto, de la ecuación (9) despejamos v0 restando
de ambos lados -at
siento esta la quinta y última ecuación de movimiento.
Estas 5 ecuaciones de movimiento solo sirven para el caso de partículas que se mueven con
aceleración constante, ya que nos basamos en esa premisa para poder obtener nuestras ecuaciones
de movimiento rectilineo uniforme.
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